Aufenthaltserlaubnis nach Kündigung + geplante Eheschließung

Hallo, 

bei uns kommen mehrere Fragen zusammen, ich versuche es, so gut wie möglich zu erklären. 

Ich bin Deutscher, meine Freundin ist Koreanerin (Südkorea / Republik Korea) mit Aufenthaltserlaubnis zur Erwerbstätigkeit (19C). 

Ihre Stelle wurde nun gekündigt und die Beschäftigung endet zum 31. März. Auf "welcome Hamburg" hatte ich die folgenden Infos gefunden: "Ihre Aufenthaltserlaubnis bleibt mindestens bis zum Ende Ihres Arbeitsverhältnisses bestehen. Darüber hinaus erhalten Sie von der Ausländerbehörde mindestens drei Monate Zeit nach einer neuen Arbeit zu suchen."
Gilt dies auch für meine Freundin (in Hessen)? 
Die Beendigung des Arbeitsverhältnisses haben wir per online-Formular an die Ausländerbehörde gemeldet (innerhalb von 14 Tagen), diese verweist allerdings auf eine Bearbeitungszeit von 3-6 Monaten. Inwiefern müssen wir nun noch weiter aktiv werden und ggf. eine Verlängerung der Aufenthaltserlaubnis beantragen? Die Jobsuche läuft, aber aktuell ist noch keine neue Stelle in Aussicht. 

Was wir unbedingt vermeiden wollen, ist dass sie auf einmal ausreisen müsste. 

Nun kommt noch dazu, dass wir planen, dieses Jahr zu heiraten (in Deutschland). Im April soll die Anmeldung der Eheschließung erfolgen. Sobald dies erfolgt ist und entsprechend mit Dokumenten belegt ist, ergeben sich vielleicht andere mögliche Aufenthaltstitel? Online hatte ich zwar das "Visum zur Eheschließung" gefunden, aber dieses scheint nur zu greifen, wenn die Einreise nach Deutschland noch bevorsteht!? 

Vielen Dank und schöne Grüße